Aproximación de Lanczos

En matemáticas, la aproximación de Lanczos es un método para calcular la función Gamma numéricamente, publicado por Cornelius Lanczos en 1964. Es una alternativa práctica a la aproximación de Stirling más popular para calcular la función Gamma con la precisión fija.

Introducción

La aproximación Lanczos consiste en la fórmula

:

para la función Gamma, con

:

Aquí el g es una constante que se puede elegir arbitrariamente sujeta a la restricción que Re (z+g+1/2)> 0. Los coeficientes p, que dependen de g, son ligeramente más difíciles de contar (véase abajo). Aunque la fórmula como declarado aquí sólo sea válida para argumentos en el medio avión complejo correcto, puede ser ampliada al avión complejo entero por la fórmula de reflexión,

:

La serie A es convergente, y puede ser truncada para obtener una aproximación con la precisión deseada. Eligiendo g apropiado (típicamente un pequeño número entero), sólo aproximadamente 5-10 términos de la serie son necesarios para calcular la función Gamma con la precisión del punto flotante sola o doble típica. Si g fijo se elige, los coeficientes se pueden calcular de antemano y la suma se rehace en la forma siguiente:

:

Así la informática de la función Gamma se hace un asunto de evaluar sólo un pequeño número de funciones elementales y multiplicarse por constantes almacenadas. La aproximación Lanczos fue popularizada por Recetas Numéricas, según las cuales la informática de la función Gamma se hace "no mucho más difícil que otras funciones incorporadas que damos por supuesto, como el pecado x o e". El método también se pone en práctica en el ÑU Biblioteca Científica.

Coeficientes

Los coeficientes da

:

{\\se fue (un + g + \begin {matriz} \frac {1} {2} \end {matriz} \right)} ^ {-\left (un + \frac {1} {2} \right)} e^ {un + g + \frac {1} {2}} </matemáticas>

con la denotación el (yo, j) th el elemento de la matriz del coeficiente del polinomio de Chebyshev que se puede calcular recurrentemente de las identidades

:

Paul Godfrey describe cómo obtener los coeficientes y también el valor de la serie truncada un como un producto de la matriz.

Derivación

Lanczos sacó la fórmula de la integral de Leonhard Euler

:

la realización de una secuencia de manipulaciones básicas para obtener

:

y sacar una serie para la integral.

Realización simple

La realización siguiente con los trabajos del lenguaje de programación del Pitón para argumentos complejos y típicamente da 15 sitios decimales correctos:

de cmath importan *

  1. Coeficientes usados por el ÑU Biblioteca Científica

g = 7

p = [0.99999999999980993, 676.5203681218851,-1259.1392167224028,

771.32342877765313,-176.61502916214059, 12.507343278686905,

- 0.13857109526572012, 9.9843695780195716e-6, 1.5056327351493116e-7]

gamma de def (z):

z = complejo (z)

# fórmula de Reflexión

si z.real

Véase también



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